1. Định nghĩa

Cho hai vectơ $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ đều khác vectơ $overrightarrow 0 $. Tích vô hướng của $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ là một số, kí hiệu là $overrightarrow a $.$overrightarrow b $, được xác định bởi công thức sau:

$overrightarrow a .overrightarrow b = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)$

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ bằng vectơ $overrightarrow 0 $ ta quy ước $overrightarrow a $.$overrightarrow b $= 0.

Chú ý

Với $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ khác vectơ $overrightarrow 0 $ ta có $overrightarrow a .overrightarrow b = 0 Leftrightarrow overrightarrow a bot overrightarrow b $.

Khi $overrightarrow a $ = $overrightarrow b $ tích vô hướng $overrightarrow a $.$overrightarrow a $ được kí hiệu là ${overrightarrow a ^2}$ và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $overrightarrow a $.

Ta có ${overrightarrow a ^2} = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow a } right|cos {0^0} = {left| {overrightarrow a } right|^2}$.

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vectơ $overrightarrow a $, $overrightarrow b $, $overrightarrow c $ bất kì và mọi số k ta có:

$overrightarrow a $.$overrightarrow b $ = $overrightarrow b $.$overrightarrow a $ (tính chất giao hoán);

$overrightarrow a .left( {overrightarrow b + overrightarrow c } right) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c $ (tính chất phân phối) ;

$begin{gathered} left( {koverrightarrow a } right)overrightarrow b = kleft( {overrightarrow a .overrightarrow b } right) = overrightarrow a left( {koverrightarrow b } right) hfill {overrightarrow a ^2} geqslant 0,{overrightarrow a ^2} = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0 hfill end{gathered} $

Nhận xét

Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

$begin{gathered} {left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2} = {overrightarrow a ^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {overrightarrow b ^2}; hfill {left( {overrightarrow a – overrightarrow b } right)^2} = {overrightarrow a ^2} – 2overrightarrow a .overrightarrow b + {overrightarrow b ^2}; hfill left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)left( {overrightarrow a – overrightarrow b } right) = {overrightarrow a ^2} – {overrightarrow b ^2}. hfill end{gathered} $

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng toạ độ $left( {O;overrightarrow i ;overrightarrow j } right)$, cho hai vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right);overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2}} right)$. Khi đó tích vô hướng $overrightarrow a $.$overrightarrow b $ là:

$overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét

Hai vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right);overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2}} right)$ đều khác vectơ $overrightarrow 0 $ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$.

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right)$ được tính theo công thức:

$left| {overrightarrow a } right| = sqrt {a_1^2 + a_2^2} $.

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right);overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2}} right)$ đều khác $overrightarrow 0 $ thì ta có:

$cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|}} = frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{sqrt {a_1^2 + a_2^2} sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$.

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm $Aleft( {{x_A};{y_A}} right)$ và $Bleft( {{x_B};{y_B}} right)$ được tính theo công thức sau:

$AB = sqrt {{{left( {{x_B} – {x_A}} right)}^2} + {{left( {{y_B} – {y_A}} right)}^2}} $.