Tâm đối xứng của đồ thị hàm số – Bí mật phía sau

Tâm đối xứng trong đồ thị hàm số là một khái niệm quen thuộc và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và thi cử. Đây không phải là một phần quá khó nhưng lại là nền tảng quan trọng để giải những câu khó hơn. Vì vậy, để đạt được điểm tối đa, các bạn cần phải tìm hiểu kỹ về tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Cùng PRAIM tìm hiểu về tâm đối xứng của đồ thị hàm số ngay sau đây.

Giải thích tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?

Cho một hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Ta có một điểm I thoả mãn tính chất: một điểm A bất kỳ thuộc đồ thị (C), nếu ta lấy đối xứng qua điểm I thì ta sẽ được điểm A’ cũng thuộc đồ thị (C). Khi đó, ta nói điểm I là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x).

Tính chất:

• Cho hàm số y = f(x). Khi đó, nếu tâm đối xứng của hàm số là gốc toạ độ O(0;0) thì f(x) là hàm số lẻ: f(-x) = -f(x).
• Ví dụ hàm số y = f(x) nhận điểm I làm tâm đối xứng và có toạ độ là I(x0;y0), thì ta sẽ có tính chất là: f(x+x0)+f(-x+x0)=2y0 với mọi x thuộc tập R.

Chú ý:

• Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể nằm trên đồ thị hoặc nằm ngoài đồ thị hàm số. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên tập R thì tâm đối xứng của hàm số đó sẽ là một điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x).
• Chỉ có một số hàm số mới có tâm đối xứng, không phải tất cả hàm số đều có tâm đối xứng.

Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số bậc 3 và đồ thị hàm số phân tuyến tính.

Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số bậc 3:

1. Hàm số bậc 3 y=ax^3+bx^2+cx+d (với a≠0), có đồ thị là (C).
2. Tâm đối xứng của đồ thị (C) chính là điểm I(-b/3a;y(-b/3a)). Điểm I cũng đồng thời là điểm uốn của đồ thị (C).

Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số phân tuyến tính:

1. Hàm số phân tuyến tính y=ax+bcx+d (trong đó ad – bc ≠ 0, c ≠ 0) và có đồ thị là (C).
2. Tâm đối xứng của đồ thị (C) lúc đó là điểm I(-d/c;a/c). Điểm I cũng đồng thời là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C).

Bài tập vận dụng

Sau khi đã tìm hiểu về lý thuyết tâm đối xứng của đồ thị hàm số, PRAIM sẽ gửi đến các bạn một số bài tập vận dụng để các bạn có thể áp dụng kiến thức đã học và ghi nhớ lâu hơn.

Bài tập 1: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số sau đây: y=2x/(x+1)

Hướng dẫn giải:
Giả sử hàm số trên nhận điểm I(a;b) làm tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó, nếu ta tịnh tiến trục tọa độ theo vectơ OI thì ta sẽ được: x=X+a, y=Y+b.
Vậy hàm số đã cho tương ứng với: Y+b=2(X+a)/(X+a+1)
Y=2bX+b-a/(X+a+1)

Để hàm số y=2x/(x+1) là hàm số lẻ thì cần thỏa mãn:
2b-a=-2b
a=0, b=0

Vậy ta suy ra điểm I(0;0) gọi là tâm đối xứng của y=2x/(x+1)

Bài tập 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=x^3+3x^2-9x+1

Hướng dẫn giải:
y ‘= 3x^2 + 6x-9
y “= 6x + 6
y ” = 0
x = -1

Ta thay x=-1 vào hàm số và được y = 12

Vậy ta suy ra điểm I(-1;12) gọi là tâm đối xứng của y=x^3+3x^2-9x+1.

Bài tập 3: Cho hàm số sau đây: y=x^3-3mx^2-mx+2 có đồ thị (C). Giá trị của m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số (C) nằm trên đường thẳng y = x + 2?

• (-1/2 ; 1/2)
• (1/2 ; 3/2)
• (1 ; 2)
• (3/2 ; 5)

Hướng dẫn giải:
Gọi tâm đối xứng của đồ thị hàm số (C) là điểm I(m;-2m^3-m^2+2).

Để điểm I nằm trên y = x + 2 thì -2m^3-m^2+2=m+2-2m^3-m^2-m=0.
m=0

Vậy đáp án là A(-1/2 ; 1/2).

Tạm kết

Bài viết trên đây đã giúp các bạn có cái nhìn tổng quan và nắm được lý thuyết về tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Hy vọng các thông tin trên là hữu ích và giúp được các bạn trong những kỳ kiểm tra sắp tới.