Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lí 1

Hàm số y = xn có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (xn)’ = n.xn-1.

2. Định lí 2

Hàm số y=x có đạo hàm tại mọi x dương và x’=12x.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x3;

b) Tính đạo hàm y=x tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3×2;

b) Ta có: y’=12x

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: y’5=125.

II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

uv’=u’v−u.v’v2v=v(x)≠0.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. 1v’=−v’v2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x5 – 2×2 + 3x + 6;

b) y = (x2 + 1)(2x – 3);

c) y=7x2x−1.

Lời giải

a) y = x5 – 2×2 + 3x

⇒y’ = (x5 – 2×2 + 3x)’

= (x5)’ – (2×2)’ + (3x)’

= 5×4 – 4x + 3.

b) y = (x2 + x).2x

⇒y’ = (x2 + x)’.2x + (x2 + 1)(2x)’

= [(x2)’ + x’].2x + (x2 + 1).2

= (2x + 1).2x + 2×2 + 2

= 4×2 + 2x + 2×2 + 2

= 6×2 + 2x + 2.

c)

y=7x2x−1⇒y=7×2’x3−2x−7x2x3−2x’x3−2×2=14xx3−2x−7x22x2−2×3−2×2=14×4−28×2−14×2+14xx3−2×2=−28×2+14xx3−2×2

III. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: yx’=yu’.ux’.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y=x2+2x

Lời giải

Đặt u=x2+2x thì y=u

y’=u’2u=x2+2x’2×2+2x=2x+22×2+2x.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. y=x3−3×2+2x+1

2. y=−x3+3x+1

3. y=x44−x2+1

4. y=−2×4+32×2+1

5. y=2x+1x−3

6. y=x2−2x+2x+1

Lời giải

1. Ta có: y’=−x3+3x+1’=3×2−6x+2

2. Ta có: y’=−x3+3x+1’=−3×2+3

3. Ta có: y’=x44−x2+1’=x3−2x

4. Ta có: y’=−2×4+32×2+1’=−8×3+3x

5. Ta có:

y’=(2x+1)'(x−3)−(x−3)'(2x+1)(x−3)2=−7(x−3)2

6. Ta có:

y’=(x2−2x+2)'(x+1)−(x2−2x+2)(x+1)'(x+1)2=(2x−2)(x+1)−(x2−2x+2)(x+1)2=x2+2x−4x+12

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=x7+x2 

b) y=2×2+3x+1

Lời giải

a) Đặt u = (x7 + x)2

⇒y’u=2×7+xx7+x’=2×7+x7x+1

b) Đặt u = 2×2 + 3x + 1

⇒y’u=u’2u=2×2+3x+1’22×2+3x+1=4x+322×2+3x+1

Bài 3. Cho f(x)=2×3−x2+32 và g(x)=x33+x22+103. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

Lời giải

Ta có:

f'(x)=2×3−x2+32’=6×2−2xg'(x)=x33+x22+103’=x2+x

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

⇔6×2−2x>x2+x⇔5×2−3x>0⇔x<0x>35

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: −∞;0∪35;+∞.

Bài 4. Cho f(x) = x5 + x3 – 2x – 3. Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x5 + x3 – 2x – 3)’ = 5×4 + 3×2 – 2.

Khi đó:

f’(1) = 5.14 + 3.12 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f’(-1) = 5.(-1)4 + 3.(-1)2 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f(0) = 05 + 03 – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = – 3.

f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12.

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Câu 1: Cho hàm số y=x2+xx−2 đạo hàm của hàm số tại x=1 là:

A. y’1=−4

B. y’1=−5

C. y’1=−3

D. y’1=−2

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:

y=x4−3×2+2x−1

A. y’=4×3−6x+3

B. y’=4×4−6x+2

C. y’=4×3−3x+2

D. y’=4×3−6x+2

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y=1−2×2.

A. y’=121−2×2.

B. y’=−4×1−2×2.

C. y’=−2×1−2×2.

D. y’=2×1−2×2.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số fx=−x4+4×3−3×2+2x+1 tại điểm x=−1.

A. f’−1=4.

B. f’−1=14.

C. f’−1=15.

D. f’−1=24.

Câu 5: Cho hàm số fx xác định trên R bởi f(x)=x2. Giá trị f'(0) bằng

A. 0.

B. 2

C. 1

D. Không tồn tại

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số sau fx=x2−3x+1 khi x>12x+2 khi x≤1 ta được:

A. f'(x)=2x−3 khi x>12 khi x≤1

B. f'(x)=2x−3 khi x>12 khi x<1

C. Không tồn tại đạo hàm

D. f’x=2x−3

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y=(x3−2×2)2016 là:

A. y’=2016(x3−2×2)2015.

B. y’=2016(x3−2×2)2015(3×2−4x).

C. y’=2016(x3−2×2)(3×2−4x).

D. y’=2016(x3−2×2)(3×2−2x).

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số sau: y=1+2×2+3×23−4×3

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y=(x+1)x2+x+1.

A. 4×2−5x+32×2+x+1

B. 4×2+5x−32×2+x+1

C. 4×2+5x+3×2+x+1

D. 4×2+5x+32×2+x+1

Câu 10: Đạo hàm cấp một của hàm số y=1−x35 là:

A. y’=51−x34

B. y’=−15×21−x34

C. y’=−31−x34

D. y’=−5×21−x34

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

Lý thuyết Ôn tập chương 5