Phương trình có nghiệm kép khi nào và cách giải quyết

Ở những bài học trước, chúng ta đã được tìm hiểu về phương trình bậc hai cũng như các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai. Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về một trong các trường hợp đó: Phương trình có nghiệm kép; đồng thời ôn lại một số kiến thức về phương trình bậc hai.

1. Phương trình có nghiệm kép khi nào?

1.1. Phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng như sau

Trong đó, a, b, c là các hệ số cho trước.

Chúng ta cùng xem một số ví dụ sau để hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ 1:

là phương trình bậc hai. Trong đó:

a = 5

b = 2

c = -1

Ví dụ 2:

là phương trình bậc hai. Trong đó:

a = 1

b = -1

c = 2

Ví dụ 3:

là phương trình bậc hai. Trong đó:

a = -2

b = 1

c = 1

Ví dụ 4:

là phương trình bậc hai. Trong đó:

a = 3

b = -2

c = -3

1.2. Phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm kép khi nào?

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Biệt thức Delta của phương trình bậc hai một ẩn được tính như sau:

Từ biệt thức Delta, chúng ta có các trường hợp nghiệm của phương trình

– Delta bé hơn 0, phương trình vô nghiệm

– Delta bằng 0, phương trình có nghiệm kép

– Delta lớn hơn 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Kết luận: Vậy phương trình bậc hai có nghiệm kép khi biệt thức Delta của phương trình bằng 0.

2. Ví dụ về phương trình có nghiệm kép

Chúng ta cùng xem một số ví dụ sau để hiểu rõ hơn về phương trình có nghiệm kép.

Ví dụ 1:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 1

b = -2

c = 1

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau:

Vậy phương trình có nghiệm là 1

Ví dụ 2:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 4

b = 4

c = 1

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là

Ví dụ 3:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 1

b = -6

c = 9

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là 3

Ví dụ 4:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 1

b = -4

c = 4

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là 2.

Ví dụ 5:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 9

b = 12

c = 4

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là

Ví dụ 6:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 1

b = 8

c = 16

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là -4

Ví dụ 7:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 1

b = -10

c = 25

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là 5

Ví dụ 8:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 9

b = -24

c = 16

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là

Ví dụ 9:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 25

b = 20

c = 4

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là

Ví dụ 10:

Phương trình trên là phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c:

a = 16

b = 8

c = 1

Phương trình trên có nghiệm kép vì:

Nghiệm của phương trình được tính như sau

Vậy phương trình có nghiệm là

3. Bài tập về phương trình có nghiệm kép

Bài 1: Giải các phương trình dưới đây

a.

b.

c.

d.

ĐÁP ÁN

a.

Đầu tiên ta xác định các hệ số a, b, c như sau:

a =

b = 1

c = 1

Ta tính biệt thức Delta như sau:

Vì Delta bằng 0 nên phương trình trên có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là: -2

b.

Đầu tiên ta xác định các hệ số a, b, c như sau:

a = 4

b = -2

c =

Ta tính biệt thức Delta như sau:

Vì Delta bằng 0 nên phương trình trên có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là:

c.

Đầu tiên ta xác định các hệ số a, b, c như sau:

a = 1

b = -1

c =

Ta tính biệt thức Delta như sau:

Vì Delta bằng 0 nên phương trình trên có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là:

d.

Đầu tiên ta xác định các hệ số a, b, c như sau:

a = 1

b =

c =

Ta tính biệt thức Delta như sau:

Vì Delta bằng 0 nên phương trình trên có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là:

Bài 2: Đưa các phương trình sau về dạng phương trình bậc hai sau đó giải phương trình

a.

b.

c.

d.

ĐÁP ÁN

a.

Đầu tiên, ta biến đổi để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai:

Sau đó, ta xác định các hệ số a, b, c:

a = 9

b = -6

c = 1

Ta tính biệt thức Delta:

Vì Delta bằng 0 nên phương trình trên có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là:

b.

Đầu tiên, ta biến đổi để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai:

Sau đó, ta xác định các hệ số a, b, c:

a = 49

b = -14

c = 1

Ta tính biệt thức Delta:

Vì Delta bằng 0 nên phương trình trên có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là:

c.

Đầu tiên, ta biến đổi để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai:

Sau đó, ta xác định các hệ số a, b, c:

a = 25

b = -30

c = 9

Ta tính biệt thức Delta:

Vì Delta bằng 0 nên phương trình trên có nghiệm kép:

Vậy nghiệm của phương trình là:

d.

Đầu tiên, ta biến đổi để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai: