Giải Bất Phương Trình

Ở cấp Trung học Cơ sở, học toán rất quan trọng vì nó chuẩn bị cho các em lên cấp Trung học Phổ thông đầy cam go. Trong số những kiến thức cần học, kiến thức về bất phương trình là rất quan trọng. Dưới đây là cách giải bất phương trình với đầy đủ lý thuyết và bài tập để các em ôn luyện.

A. LÝ THUYẾT BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình một ẩn

• Bất phương trình một ẩn là kiểu bất phương trình có dạng f(x) > g(x) ( hoặc f(x) < g(x); f(x) ≥ g(x); f(x) ≤ g(x)), trong đó f(x) và g(x) là hai biểu thức của biến x.
• Cho số x0 được gọi là nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x). Nếu thay x0 vào bất phương trình thì ta được f(x0) < g(x0) là một khẳng định đúng. Khi giải bất phương trình ta tìm được tất cả các nghiệm hay còn gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
• Hai bất phương trình khi có chung tập nghiệm thì được gọi là hai bất phương trình tương đương nhau.
• Phép biến đổi tương đương xảy ra khi biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương.
• Một số quy tắc biến đổi phương trình tương đương thường dùng tới là:
  • Chuyển vế : f(x) + h(x) > g(x) ⇔ f(x) > g(x) – h(x)
  • Nhân (chia) :
    • f(x) > g(x) ⇔ f(x) .h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x
    • f(x) > g(x) ⇔ f(x) .h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn:

• Bất phương trình một ẩn là kiểu bất phương trình mà có dạng là ax + b > 0 ( hoặc ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0) trong đó số a, số b là các số cho trước và a ≠ 0.
• Giải bất phương trình ax + b > 0 (1)
  Ta có (1) ⇔ ax > -b
  • Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x > -b/a.

3. Bất phương bậc hai một ẩn:

• Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax² + bx + c < 0 (hoặc ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c ≥ 0)
• Trong đó, x được gọi là ẩn; a, b, c là những số thực với a ≠ 0.
• Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax² + bx + c < 0 cùng dấu với hệ số a (trong trường hợp a < 0) hoặc trái dấu với hệ số a (trong trường hợp a > 0)

Bài viết này cung cấp rất nhiều lý thuyết và bài tập thực hành để các em ôn luyện. Bạn có thể xem chi tiết và làm các bài tập tại PRAIM.

B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. TRẮC NGHIỆM VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi:
A) a ≠ 0 và b = 0
B) a > 0 và b = 0
C) a = 0 và b ≠ 0
D) a = 0 và b ≠ 0
Đáp án chính xác là: D

Câu 2: Tập nghiệm S của bất phương trình: 5x – 1 ≥ (2x/5) + 3 là?
A) S = R
B) x > 2
C) x < (-5)/2
D) x ≥ 20/23
Đáp án chính xác là: D

Câu 3: Bất phương trình [(3x + 5)/2] -1 ≤ [(x + 2)/3 + x] có bao nhiêu nghiệm là nghiệm nguyên lớn hơn 10?
A) 4
B) 5
C) 9
D) 10
Đáp án chính xác là: B

Câu 4: Tập nghiệm S của bất phương trình: (1 – √2)x < √2 – 2 là?
A) x > 2
B) x > √2
C) x < -√2
D) S = R
Đáp án chính xác là: B

Câu 5: Bất phương trình (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5 có tập nghiệm là?
A) x < -2/3
B) x ≥ -2/3
C) S = R
D) S = Ø
Đáp án chính xác là: D

Câu 6: Giải bất phương trình: 2x + 4 < 16
A) x > 6
B) x < 6
C) x < 8
D) x > 8
Đáp án chính xác là: B

Câu 7: Giải bất phương trình: 8x + 4 > 2(x + 5)
A) x > 2
B) x < -1
C) x > -1
D) x > 1
Đáp án chính xác là: D

Câu 8: Giải bất phương trình: (x + 2)/3 +3x + 1 > (x – 2)/2
A) x > -6/7
B) x < 6/5
C) x > -16/17
D) x > -6/11
Đáp án chính xác là: C

Câu 9: Giải bất phương trình: (x + 2)(x – 3) > (2 – x)(6 – x)
A) x > 18/7
B) x > 11/7
C) x < 15/7
D) x < 8/7
Đáp án chính xác là: A

Câu 10: Tìm m để x = 2 là nghiệm của bất phương trình: mx + 2 < x + 3 + m
A) m = 2
B) m < 3
C) m > 1
D) m < -3
Đáp án chính xác là: B

Câu 11: Những bất phương trình nào là bất phương trình một ẩn?
A) 2x – 3 < 0
B) 0.x + 5 > 0
C) 5x – 15 ≥ 0
D) x² > 0
Đáp án chính xác là: A và C

II. TỰ LUẬN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:

Bài 1: Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế)
a) x – 3 > 5
b) 2x ≥ x + 2
c) 2x – 4 < 3x – 2
d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5
e) 3x – 5 > 2(x – 1)

Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình trên một trục số:
a) 2x – 3 > 3(x – 2)
b) (12x + 1)/12 ≤ (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4
c) 5(x – 1) ≤ 6(x – 5/3)
d) (2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3

Bài 3: Giải các bất phương trình bậc hai một ẩn sau:
a) -3x² + 2x + 1 < 0
b) x² + x – 12 < 0
c) 5x² -6√5x + 9 > 0
d) -36x² + 12x -1 ≥ 0

Bài 4: Tìm m để mọi x ∈ [-1;1] đều là nghiệm của bất phương trình:
3x² – 2(m + 5)x – m² + 2m + 8 ≤ 0

Bạn có thể xem chi tiết và làm các bài tập trên trang web PRAIM.