Chien Minh Ma Tran – Bí Mật Tìm Ma Trận Nghịch Đảo

Chắc hẳn bạn đã từng gặp khái niệm “ma trận nghịch đảo” trong suốt quá trình học toán đại số, phải không? Nhưng liệu bạn có biết rằng ma trận nghịch đảo là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong lĩnh vực này? Hãy cùng PRAIM tìm hiểu ngay bây giờ!

Khái niệm ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n. Điều này có nghĩa là ma trận đơn vị là duy nhất.

Định nghĩa 2

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta nói A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho A.B = B.A = I_n. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A^-1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất.

Nhận xét

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất.
2. Hiển nhiên: (A^-1)^-1 = A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A^-1.
3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông.

Các ví dụ

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

Ta có: A.B = B.A = I₂. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A.

Tính chất

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)^-1 = B^-1. A^-1.
2. Nếu A khả nghịch thì AT khả nghịch và (AT)^-1 = (A^-1)^T.

Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp

Ma trận sơ cấp

Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị I_n bởi đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

Tính chất

Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng.

Định lý

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch
2. I_n nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột)
3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

Hệ quả

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là I_n
2. Nếu A khả nghịch thì I_n nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến I_n thành nghịch đảo của ma trận A.

Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Thuật toán Gausβ – Jordan được sử dụng để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Cụ thể, ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I_n vào bên phải ma trận A.

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A | I_n ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.

• Nếu A’ = I_n thì A khả nghịch và A^-1 = B
• Nếu A’ ≠ I_n thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

Từ đó suy ra:

Giải:

Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:

A^-1 =

Từ ta có: . Do đó:

PRAIM hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm ma trận nghịch đảo. Đừng ngần ngại áp dụng kiến thức này vào thực tế để giải quyết các bài toán phức tạp nhé!