9 bài học giúp bạn vượt qua các bài toán chứng minh hình học

Là một giáo viên dạy Toán với hơn 10 năm kinh nghiệm, từng tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, thầy Trịnh Tiến Nam – giáo viên Trường THCS Dân tộc Nội trú Bá Thước (Thanh Hóa) – đã chia sẻ 9 bài học giúp học sinh vượt qua các bài toán chứng minh hình học.

Phải coi trọng bước vẽ hình

Hình vẽ có vai trò quan trọng trong chứng minh hình học. Hình vẽ chính xác giúp chúng ta dễ dàng tìm ra các quan hệ hình học trong bài toán. Hãy tránh vẽ những hình rơi vào trường hợp đặc biệt để không gây hiểu lầm về các tính chất không có trong bài toán.

Khai thác triệt để giả thiết để phát hiện quan hệ mới

Giả thiết của bài toán là các dữ kiện cần thiết để chúng ta chứng minh thành công bài toán đó. Chúng ta cần khai thác các tính chất của hình trong giả thiết, đặc biệt là những tính chất liên quan đến dữ kiện trong bài. Càng tìm được nhiều quan hệ mới từ giả thiết, chúng ta càng có nhiều vật liệu để giải bài toán. Hãy luôn đặt câu hỏi: “Bài toán cho điều này ta có thể suy ra điều gì? Nó có liên quan gì với kết luận không?” để nối với kết luận.

Phân tích kết luận để định hướng chứng minh

Mỗi bài toán chứng minh hình học có nhiều phương án để đi đến kết luận, nhưng không phải phương án nào cũng khả thi. Phân tích kết luận giúp chọn những phương án có khả năng thành công nhất. Hãy đặt câu hỏi: “Để chứng minh điều này ta phải chứng minh điều gì?” liên tục cho đến khi nối được với giả thiết đã khai thác.

Sử dụng hết các dữ kiện và kết quả trước

Trong quá trình giải bài toán, hãy sử dụng hết mọi dữ kiện có sẵn. Nếu còn dữ kiện nào chưa sử dụng, hãy tìm cách sử dụng nó. Nếu bài toán gồm nhiều câu, hãy chú ý đến kết quả của câu trước khi giải câu sau. Kết quả câu trên thường là gợi ý cho những câu sau.

Đổi hướng chứng minh khi đi vào ngõ cụt

Khi gặp bế tắc trong một hướng, hãy thử suy nghĩ đến một hướng chứng minh khác và tạm thời quên đi một số bước tư duy của hướng ban đầu. Hãy trở lại vị trí ban đầu và tìm lối ra mới bằng sự bình tĩnh.

Dùng đại số để hỗ trợ hình học

Biến đổi đại số và giải phương trình có thể rất hữu ích trong giải các bài toán hình học. Hãy nghĩ đến việc đại số hoá các số đo, như góc, độ dài đoạn thẳng, diện tích… và lập phương trình để thiết lập các quan hệ và đại lượng chưa biết.

Đưa khó về dễ

Một cách để giải bài toán khó là xét những trường hợp đặc biệt của bài toán. Xét các trường hợp đặc biệt không phải lúc nào cũng giải được bài toán, nhưng nhiều khi giúp ta “mò” ra kết quả và định hướng chứng minh. Điều này giúp ta dễ dàng giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.

Đưa lạ về quen

Thao tác đưa lạ về quen được sử dụng để chia nhỏ bài toán lạ thành những bài toán nhỏ quen thuộc. Khi gặp dấu hiệu quen thuộc, hãy liên hệ với những bài toán đã giải, định lý, tính chất đã chứng minh hoặc ta đã biết cách giải. Sử dụng những kết quả quen thuộc đã biết để giải bài toán mới.

Phương pháp phản chứng trong chứng minh

Để chứng minh A kéo theo B, ta có thể gặp khó khăn khi tìm đường nối từ A đến B. Một cách chứng minh thay thế là chứng minh phủ định của B là sai. Cách chứng minh này gọi là chứng minh bằng phản chứng. Ba bước của phương pháp phản chứng là: phủ định kết luận, đưa đến mâu thuẫn và khẳng định kết luận. Phương pháp phản chứng là một lựa chọn tốt cho giải quyết một số bài toán chứng minh hình học.

Thầy Trịnh Tiến Nam khẳng định việc sử dụng phương pháp phản chứng mở ra một lựa chọn tốt cho giải quyết một số bài toán chứng minh hình học. Đặc biệt, có những bài toán chỉ có con đường chứng minh bằng phản chứng là duy nhất.

Đọc thêm tại PRAIM