Bảy Hằng Đẳng Thức: Bí Mật Đằng Sau Toán Học

Bạn có đang làm bài tập về hằng đẳng thức mà không biết làm, không hiểu sao phải làm thì hãy đến với PRAIM để tìm hiểu về các hằng đẳng thức đáng nhớ và các ứng dụng cơ bản của chúng nhé!

Hằng Đẳng Thức Là Gì?

Đẳng thức là cặp biểu thức nối liền với nhau bởi dấu =. Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi trị số gán cho các chữ trong đó. Đây là một khái niệm quan trọng trong toán học và được ứng dụng rất nhiều.

Hằng Đẳng Thức Dùng Để Làm Gì?

Hằng đẳng thức được ứng dụng rất nhiều trong Toán học, tiêu biểu nhất là:

• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Tính giá trị biểu thức.
• Giải hệ phương trình đối xứng.

Chi Tiết Công Thức Về 7 Hằng Đẳng Thức

1. Bình Phương Của Một Tổng

Công thức: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Giải thích: Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

2. Bình Phương Của Một Hiệu

Công thức: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

Giải thích: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.

3. Hiệu Hai Bình Phương

Công thức: A2 - B2 = (A - B)(A + B)

Giải thích: Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.

4. Lập Phương Của Một Tổng

Công thức: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Giải thích: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.

5. Lập Phương Của Một Hiệu

Công thức: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

Giải thích: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai.

6. Tổng Hai Lập Phương

Công thức: A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

Giải thích: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

7. Hiệu Hai Lập Phương

Công thức: A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

Giải thích: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Các Dạng Bài Toán Áp Dụng 7 Hằng Đẳng Thức

Dạng 1: Tính Giá Trị Của Biểu Thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức A = x2 - 4x + 4 tại x = -1

Lời giải:

• Ta có: A = x2 - 4x + 4 = (x - 2)2
• Tại x = -1: A = ((-1) - 2)2 = (-3)2 = 9
• Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2: Chứng Minh Biểu Thức A Không Phụ Thuộc Vào Biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x - 1)2 + (x + 1)(3 - x)

Lời giải:

• Ta có: A = (x - 1)2 + (x + 1)(3 - x) = x2 - 2x + 1 - x2 + 3x + 3 - x = 4
• Hằng số không phụ thuộc vào biến x

Dạng 3: Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 2x + 5

Lời giải:

• Ta có: A = x2 - 2x + 5 = (x - 1)2 + 4
• Vì (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x
• Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, Đẳng thức xảy ra khi x - 1 = 0 hay x = 1

Dạng 4: Tìm Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu Thức

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x - x2

Lời giải:

• Ta có: A = 4x - x2 = 4 - (x2 - 4x + 4) = 4 - (x - 2)2
• Vì (x - 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x - 2)2 ≤ 0 với mọi x
• Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là 4, Đẳng thức xảy ra khi x - 2 = 0 hay x = 2

Dạng 5: Chứng Minh Đẳng Thức Bằng Nhau

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

• Ta có: VT = (a + b)3 - (a - b)3
• = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 + 3a2b - 3ab2 + b3
• = 6a2b + 2b3
• = 2b(3a2 + b2)
• Vậy: (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2 - x)(x - 4) - 2

Lời giải:

• Ta có: B = (2 - x)(x - 4) - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x - 3)2 - 1
• Vì (x - 3)2 ≥ 0 ⇔ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ -(x - 3)2 - 1 ≤ -1 < 0 với mọi x

Dạng 7: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 - 4x + 4 - y2

Lời giải:

• Ta có: A = x2 - 4x + 4 - y2 = (x - 2 - y)( x - 2 + y)

Với những dạng bài toán này, tự tin làm và áp dụng 7 hằng đẳng thức để giải quyết nhé!