Hàm Số Lượng Giác: Từ Căn Bản Đến Thực Hành

Hàm số lượng giác là một chủ đề quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong môn Toán lớp 11. Để hiểu rõ về hàm số lượng giác, chúng ta cần nắm vững các kiến thức căn bản và áp dụng chúng vào các bài tập. Bài viết này sẽ giúp bạn đạt được điều đó!

Lý thuyết Cần Nắm về Hàm Số Lượng Giác

1.1. Hàm số sin(x)

Hàm số sin(x) được định nghĩa bằng cách gán mỗi số thực x với một giá trị thực y tương ứng.

• Tập xác định: R và -1 ≤ sin(x) ≤ 1 với x thuộc R.
• y = sin(x) là hàm số lẻ.

1.2. Hàm số cos(x)

Hàm số cos(x) cũng được định nghĩa bằng cách gán mỗi số thực x với một giá trị thực y tương ứng.

• Tập xác định: R và -1 ≤ cos(x) ≤ 1 với x thuộc R.
• y = cos(x) là hàm số chẵn.

1.3. Hàm số tan(x)

Hàm số tan(x) được xác định theo công thức y = sin(x)/cos(x) với cos(x) ≠ 0.

• Tập xác định: D = {π/2 + kπ | k ∈ Z}.
• y = tan(x) là hàm số lẻ.

1.4. Hàm số cot(x)

Hàm số cot(x) được xác định theo công thức y = cos(x)/sin(x) với sin(x) ≠ 0.

• Tập xác định: D = {kπ | k ∈ Z}.
• y = cot(x) là hàm số lẻ.

1.5. Tính Tuần Hoàn Của Hàm Lượng Giác

• y = sin(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π.
• y = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π.
• y = tan(x) tuần hoàn với chu kỳ π.
• y = cot(x) tuần hoàn với chu kỳ π.

Cách Xác Định Tập Xác Định và Tính Chẵn, Lẻ

2.1. Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x mà khi đưa vào biểu thức f(x) thì có nghĩa.

• Bài tập: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
  • 
  • 

2.2. Cách Xác Định Hàm Số Lượng Giác Chẵn, Lẻ

Phương pháp chung:

1. Tìm tập xác định D của hàm số.

   • Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), thì thực hiện bước 2.
   • Nếu D không là tập đối xứng (tức là ∃x ∈ D mà −x∉ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

2. Xác định f(-x).

   • Nếu f(−x) = f(x) ⇒ hàm số là hàm chẵn.
   • Nếu f(−x) = −f(x) ⇒ hàm số là hàm lẻ.

• Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
  • a) y = cos(x) + cos(2x)
  • b) y = tan(x) + cot(x)
• Bài tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
  1. y = cos(x) + sin(x).
  2. y = sin(2x) + cot(100x).

2.3. Hàm Số Tuần Hoàn và Cách Xác Định Chu Kỳ Tuần Hoàn

Phương pháp chung:

• Hàm số y = f(x) được xác định trên tập hợp D nếu có số T ≠ 0 sao cho:

  • ∀x ∈ D ⇒ x+T ∈ D; x-T ∈ D và f(x+T) = f(x).

  Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.

• Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác (nếu có):

  • y = k.sin(ax+b) có chu kì T= 2π/|a|.
  • y = k.cos(ax+b) có chu kì là T= 2π/|a|.
  • y = k.tan(ax+b) có chu kì là T= π/|a|.
  • y = k.cot(ax+b) có chu kì là: T= π/|a|.

• Bài tập 1: Hàm số y = 2tan(2x-100) có chu kì là T= π/2.

• Bài tập 2: Tìm chu kì của hàm số y = 10π cos⁡(π/2-20x): T= π/10.

• Bài tập 3: Tìm chu kì của hàm số y = 2sin(2x)sin(4x): T= π.

2.4. Vẽ Đồ Thị Hàm Số và Xác Định Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến

Phương pháp chung:

• Trường hợp hàm số đồng biến trên K ⇒ Đồ thị đi sẽ lên từ trái sang phải.
• Trường hợp hàm số nghịch biến trên K ⇒ Đồ thị sẽ đi xuống từ trái sang phải.

Chú ý: Tập xác định của hàm số.

• Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau, hàm số đồng biến trên khoảng nào?

  • 

• Bài tập 2: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau, hàm số đồng biến trên khoảng nào?

  • 

2.5. Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta cần:

• Với mọi x ta có: -1 ≤ sin(x) ≤ 1; -1 ≤ cos(x) ≤ 1.

• Với mọi x ta có: 0 ≤ |sin(x)| ≤ 1; 0 ≤ |cos(x)| ≤ 1.

• Bài tập: Với mọi x ta có : -1 ≤ cos(3x) ≤ 1 nên 0 ≤ |cos(3x)| ≤ 1.

• Đăng ký ngay để được tư vấn ôn tập kiến thức hiệu quả và phù hợp nhất với bản thân. Trên đây là toàn bộ lý thuyết và bài tập hàm số lượng giác lớp 11 thường gặp. Để đạt kết quả cao, hãy thực hành nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập PRAIM và đăng ký tài khoản để tham khảo thêm các kiến thức khác thuộc chương trình Toán 11 cũng như các môn khác! Chúc em đạt kết quả cao trong kỳ thi mọi kì thi nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

• Phương trình lượng giác thường gặp.
• Công thức lượng giác.