Ma Trận Nghịch Đảo – Bí Kíp Bậc Thầy Toán Học

Bạn đã từng gặp khó khăn khi nghiên cứu về ma trận nghịch đảo? Hôm nay, PRAIM sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm và tính chất của ma trận nghịch đảo.

Khái Niệm Ma Trận Nghịch Đảo

Định nghĩa 1

Một ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n. Ma trận đơn vị là duy nhất.

Định nghĩa 2

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = Iₙ. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A⁻¹.

Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất.
2. A là ma trận nghịch đảo của A⁻¹.
3. Ma trận đơn vị là khả nghịch, ma trận không không khả nghịch.
4. Tập hợp các ma trận vuông khả nghịch được ký hiệu là GLₙ(K).

Cùng xem các ví dụ minh họa về ma trận nghịch đảo:

Xét các ma trận vuông cấp 2 sau đây:
A = [(1, 2), (3, 4)] B = [(4, -2), (-3, 1)] C = [(2, 4), (1, 2)]

Ta có: A.B = B.A = I₂. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A.

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:
[ad – bc = 2 2 – 1 4 = 0]

Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng không (hoặc cột không) đều không khả nghịch.

Tính Chất Của Ma Trận Nghịch Đảo

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)⁻¹ = B⁻¹.A⁻¹.
2. Nếu A khả nghịch thì Aᵀ khả nghịch và (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ.

Mối Quan Hệ Giữa Ma Trận Khả Nghịch Và Ma Trận Sơ Cấp

Ma trận sơ cấp

Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị Iₙ bởi đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng.

Định Lý

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch.
2. Iₙ nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột).
3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp.

Hệ quả:
Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là Iₙ.
2. Nếu A khả nghịch thì Iₙ nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột), đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến Iₙ thành nghịch đảo của ma trận A.

Thuật Toán Gausβ – Jordan

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có) của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n Iₙ vào bên phải ma trận A.

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [A | Iₙ] về dạng [A’ | B], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.

• Nếu A’ = Iₙ thì A khả nghịch và A⁻¹ = B.
• Nếu A’ ≠ Iₙ thì A không khả nghịch.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

Từ đó suy ra A khả nghịch và:

Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:

PRAIM hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về ma trận nghịch đảo. Hãy thực hành và áp dụng kiến thức này vào việc giải các bài toán thực tế. Đừng quên truy cập PRAIM để khám phá thêm nhiều nội dung bổ ích khác nhé!