38 lượt xem

Không gian vector: Tất cả mọi thứ có thể là vector

Chúng ta đã từng nghe về khái niệm vector trong hình học từ cấp 3. Vector có thể được cộng và nhân với một số để tạo ra một vector mới. Tuy nhiên, trong thực tế, có rất nhiều thứ khác cũng có hai đặc điểm này, chẳng hạn như đa thức. Hai đa thức có thể được cộng với nhau và một đa thức có thể nhân với một số để tạo ra một đa thức mới. Do đó, một khái niệm được tạo ra để tổng quát hóa các đặc điểm này, đó là không gian vector.

Xem xét tập hợp (V) gồm các vector và trường số thực (mathbb{R}). Ta giả sử có hai phép toán: phép cộng hai vector và phép nhân một vector với một số thực. Nếu (V) thỏa mãn các điều kiện sau, thì nó được gọi là một không gian vector:

  • ((V, +)) là một nhóm Abelian với phần tử đơn vị ký hiệu là (overrightarrow{0}).
  • Với (a,bin mathbb{R}) và (x,yin V), ta có:
    • (axin V)
    • (a(x+y) = ax+ay)
    • ((a+b)x = ax+bx)
    • (a(bx) = (ab)x)
    • (1times x = x)

Hệ quả của khái niệm không gian vector gồm các tính chất sau:

  • (0x = overrightarrow{0})
  • (-x = (-1)x)
  • (aoverrightarrow{0} = overrightarrow{0})
  • Nếu (kx=overrightarrow{0}) thì hoặc (k=0) hoặc (x=overrightarrow{0}).

Nếu tập con (W) của (V) đóng với phép cộng và phép nhân với một số thực, thì (W) được gọi là một không gian con.

Không gian hữu hạn chiều

Tổ hợp tuyến tính

Cho một tập (n) vector (S={v_1,v_2,dots, v_n}) thuộc không gian vector (V). Một tổ hợp tuyến tính của (n) vector này là một vector có dạng (c_1v_1+c_2v_2+dots+c_nv_n) trong đó (c_i) là các hằng số thực. Tập (W) gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính được gọi là một bao tuyến tính của họ (S), ký hiệu là (mathrm{span}(S)). Bản thân bao tuyến tính là một không gian vector, và đó là một không gian con của (V).

Độc lập tuyến tính là một đặc điểm mô tả các họ vector (S={v_1,v_2,dots, v_n}) nào có tính chất sau:

[c_1v_1+c_2v_2+dots+c_nv_n=0 Leftrightarrow c_1=c_2=dots=c_n=0]

Giả sử dựng ma trận (A) với mỗi cột là tọa độ của các vector trong (S), và đồng thời (V) là một không gian (n) chiều (tức (A) là ma trận vuông), thì phương trình (c_1v_1+c_2v_2+dots+c_nv_n=0) có thể được viết thành hệ phương trình thuần nhất. Lúc này để hệ có nghiệm duy nhất, (mathrm{det}(A)neq 0). Đây cũng là điều kiện cần và đủ để (S) là một họ độc lập tuyến tính.

Nói một cách đơn giản, độc lập tuyến tính có nghĩa là không có bất kỳ vector (v_i) nào có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính từ (n-1) vector còn lại. Định nghĩa toán học thực sự sẽ phức tạp hơn và khó hình dung hơn cách diễn đạt này.

Xem thêm  Trò chơi Dragon Mania Legends - Sở hữu thành phố rồng của riêng bạn!

Không gian (n) chiều

Trong một không gian vector (V), nếu có (n) vector độc lập tuyến tính và không có quá (n) vector độc lập tuyến tính thì (V) được định nghĩa là một không gian (n) chiều.

Cơ sở

Một họ (n) vector (S={v_1,v_2,dots, v_n}) độc lập tuyến tính trong không gian (n) chiều (V) được gọi là một cơ sở (basis, số nhiều bases). Nếu (S) là cơ sở của (V) và ta có (uin V), (u = c_1v_1 + dots + c_nv_n) thì ((c_1, dots, c_n)) được gọi là tọa độ của (u) dưới cơ sở (S).

Trong không gian vector (n) chiều, một cơ sở (S={v_1, v_2,dots,v_n}) gọi là cơ sở chính tắc (standard basis) nếu (v_i) là một vector có thành phần thứ (i) bằng 1 và những thành phần còn lại bằng 0 (có dạng (v_i = (0 0 dots 0 1 0 0dots 0))). Thông thường, nếu không nêu rõ cơ sở của một không gian thì ta thường ngầm hiểu và sử dụng cơ sở chính tắc cho thuận tiện.

Một số tính chất đáng lưu ý:

  • (S) độc lập tuyến tính (Leftrightarrow) (S) là cơ sở của (mathrm{span}(S)).
  • (S) là một cơ sở của (V Leftrightarrow) mỗi vector trong (V) luôn có một tổ hợp tuyến tính của (S).

Ta biểu diễn (S={v_1,v_2,dots, v_n}) dưới dạng ma trận (M) gồm (n) cột ((M) có thể không vuông), mỗi cột là tọa độ của vector đối với cơ sở (B) nào đó. Hạng của họ vector (S) được định nghĩa bằng hạng của (M). Khi đó:

[rho(M) = rho(S) = mathrm{dim(span(}Smathrm{))}]

Gọi (M^*) là row-echelon form của (M) với ({j_1, dots, jn}) là các pivot column, khi đó ({v{j1}, dots, v{j_n}}) là basis của (mathrm{span}(S)).

Bổ đề Steinitz: Nếu ta có (S = {v_1, v_2,dots,v_r}) là một họ vector độc lập tuyến tính trong không gian (n) chiều (V) ((r < n)) thì ta có thể bổ sung (n-r) vector nữa để hình thành một cơ sở của (V).

Tích vô hướng

Trong hình học Euclid (mathbb{R}^n), ta đã biết khái niệm tích vô hướng của hai vector (x=(x_1,x_2,dots,x_n)) và (y=(y_1,y_2,dots,y_n)) như sau:

[langle x,yrangle = x_1y_1 + x_2y_2 + dots + x_ny_n]

Tuy nhiên trong một không gian vector bất kỳ, tích vô hướng có thể mang những dịnh nghĩa khác nhau. Dưới đây là 5 tiên đề để một phép tính được công nhận là tích vô hướng:

  • (langle a,brangle) là một số xác định với mọi vector (a,b)
  • (langle a,brangle = langle b,arangle)
  • (langle a+b,crangle = langle a,crangle + langle b,crangle)
  • (langle ka,brangle = klangle a,brangle) với (k) là một số
  • (langle a,arangle geq 0) và (langle a,arangle=0 Leftrightarrow a=overrightarrow{0})

Ví dụ khác: Ta đã biết tập hợp tất cả các hàm liên tục trên ([a,b]) là một không gian vector. Tích vô hướng của không gian này có thể được định nghĩa như sau:

Xem thêm  Câu gốc - Quá trình học thuộc Kinh Thánh
[langle f,grangle = int^b_a f(x)g(x)dx]

Không gian vector (n) chiều có trang bị một tích vô hướng gọi là không gian Euclid (Euclidean space).

Độ dài của vector

Độ dài của vector (v) ký hiệu là (vert vvert), bằng căn bậc hai của tích vô hướng của (v) với chính nó, tức là (sqrt{langle v,vrangle})

Các tính chất:

  • Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chỉ ra rằng: [vertlangle u,vranglevert leq vert uvert timesvert vvert]
  • (vert vvert geq 0)
  • (vert vvert =0 Leftrightarrow v=overrightarrow{0})
  • (vert kvvert = vert kvert vert vvert)
  • (vert u+vvert leq vert uvert + vert vvert)

Khoảng cách giữa hai vector

Định nghĩa: [d(u,v) = vert u-vvert]

Tính chất:

  • (d(u,v) = d(v,u))
  • Bất đẳng thức tam giác: (d(u,v) leq d(u,w) + d(w,v))

Trực giao

Hai vector vuông góc với nhau (còn gọi là trực giao – orthogonal) khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Một họ vector mà trong đó các vector đôi một trực giao với nhau được gọi là họ trực giao (orthogonal set). Thêm nữa, nếu tất cả các vector trong họ đều có độ dài bằng 1 thì họ đó gọi là họ trực chuẩn (orthonormal).

Họ trực giao của các vector khác 0 luôn luôn là họ độc lập tuyến tính.

Nếu một không gian (n) chiều có cơ sở là một họ trực chuẩn (S={v_1, v_2,dots,v_n}) thì mọi vector (u) trong không gian đó có thể biểu diễn dưới dạng sau:

[u = langle u,v_1rangle v_1 + langle u,v_2rangle v_2 + dots + langle u,v_nrangle v_n]

Hình chiếu của một vector lên không gian con

Giả sử (S={v_1, v_2,dots,v_m}) là một họ trực chuẩn các vector trong (V). Gọi (W=mathrm{span}(S)) là không gian con của (V). Hình chiếu trực giao (đặt là (w)) của vector (u) bất kỳ trong (V) lên không gian con (W) là một vector thuộc (W) và (u-w) trực giao với mọi vector trong (W). Hình chiếu trực giao được tính bằng công thức sau:

[w = langle u,v_1rangle v_1 + langle u,v_2rangle v_2 + dots + langle u,v_mrangle v_m]

Chứng minh dễ dàng (win W). Trường hợp (u-w) trực giao với mọi vector (x) trong (w) có thể được suy ra bằng cách chứng minh (u-w) trực giao với mọi (v_iin S):

[langle u-w, v_irangle & = langle u,v_irangle – langle w,v_irangle & = langle u,v_irangle – langle u,v_irangle & = 0]

Do mọi vector (x) trong (W) đều được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính các vector trong họ (S) và (u-w) trực giao với tất cả các vector trong họ (S) nên suy ra (u-w) trực giao với mọi vector (x).

Như vậy biểu thức (w) là công thức đúng.

Quá trình Gram-Schmidt

Cho một không gian vector (V) có cơ sở (S={v_1, v_2,dots,v_n}). Phương pháp biến đổi (S) thành một họ trực giao (S’={u_1, u_2,dots,u_n}) sao cho (mathrm{span}(S’) = V) gọi là quá trình trực giao hóa. Một trong những phương pháp đó là quá trình Gram-Schmidt:

  • [u_1 = v_1, eta_1 = frac{u_1}{|u_1|}]
  • [u_2 = v_2 – w_2, eta_2 = frac{u_2}{|u_2|}]
  • [vdots]
  • [u_n = v_n – w_n, eta_n = frac{u_n}{|u_n|}]
Xem thêm  PRAIM - Tựa game Coin Master phiên bản MOD: Nâng cấp đảo và tận hưởng vô hạn Spin

Trong đó (w_i) là vector hình chiếu của (v_i) lên không gian tạo bởi họ trực chuẩn ({eta1, dots, eta{i-1}}), được tính như vừa trình bày ở phần trước.

Kết thúc (n) bước ta có ({eta1, dots, eta{i-1}}) là họ đã được trực chuẩn hóa từ cơ sở (S).

Tọa độ

Giả sử (S={v_1, v_2,dots,v_n}) là một họ các vector độc lập tuyến tính sinh ra (V). Mọi vector (uin V) được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính các vector trong cơ sở:

[u = c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_nv_n]

Vector ((u)_S = (c_1,c_2,dots,c_n)) gọi là vector tọa độ của (u) đối với cơ sở (S) (coordinate vector of (u) with respect to (S)). Ma trận

[[u]_S=begin{bmatrix} c_1 c_2 dots c_n end{bmatrix}]

gọi là ma trận tọa độ của (u) đối với cơ sở (S) (coordinate matrix of (u) with respect to (S)).

Chuyển cơ sở

Ví dụ

Trong không gian (mathbb{R}^2) xét hai cơ sở:

[S = {v_1,v_2} = left{begin{bmatrix}12end{bmatrix}, begin{bmatrix}3-1end{bmatrix}right} S’ = {v_1′,v_2′} = left{begin{bmatrix}1end{bmatrix}, begin{bmatrix}01end{bmatrix}right}]

Cho (u = 2v_1 + 7v_2). Hãy tìm cách biểu diễn (u) qua (v_1′) và (v_2′).

Cách giải khá đơn giản: Đầu tiên ta tìm cách biểu diễn (v_1) và (v_2) trước, rồi thay vào biểu thức (u).

[left{begin{matrix} v_1 = v_1′ + 2v_2′ v_2 = 3v_1′ – v_2′ end{matrix}right.]

Từ đó, (u = 2(v_1′ + 2v_2′) + 7(3v_1′-v_2′) = 23v_1′ – 3v_2′)

Tổng quát hơn:

[[u]_{S’} = begin{bmatrix}1 & 3 2 & -1end{bmatrix}begin{bmatrix}2 7end{bmatrix} = P[u]_S]

Ma trận (P) được gọi là ma trận chuyển đổi (change-of-basis matrix) từ cơ sở (S) sang (S’). Ma trận này được tính bằng cách sau:

  • Dựng các vector trong cơ sở (S) và (S’) thành các cột, tạo thành hai ma trận lần lượt là (A) và (B).
  • Tính (P = B^{-1}A).

Khi được biết biểu diễn ([u]S), ta có thể tính ([u]{S’} = P[u]S). Ngược lại, khi biết ([u]{S’}), ta có thể tính ([u]S = P^{-1}[u]{S’}).

Thật vậy, giả sử chúng ta biểu diễn mỗi vector (v_1, dots, v_n) qua cơ sở mới (S’) như sau:

▶ Xem thêm

Side note: Việc gọi (P) là ma trận chuyển cơ sở cần đi kèm với công thức ([u]S = P[u]{S’}) để cho thấy sự liên hệ toán học rõ ràng giữa hai tọa độ. Cách nói “chuyển từ cơ sở (S) sang (S’)” vẫn chưa đầy đủ và dễ gây hiểu nhầm.

Tính chất

Chính từ cách xây dựng (P) thông qua hai cơ sở (vốn độc lập tuyến tính) nên (mathrm{det}(P)neq 0), tức là (P) khả đảo. Ma trận (P^{-1}) gọi là ma trận chuyển đổi từ (S’) sang (S) vì:

[[u]S = P^{-1}[u]{S’}]

Mặt khác, nếu (S) và (S’) là hai cơ sở trực chuẩn thì (P) gọi là ma trận trực giao với tính chất

[PP^{T} = P^{T}P = I]

Chào mừng bạn đến với PRAIM, - nền tảng thông tin, hướng dẫn và kiến thức toàn diện hàng đầu! Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn một trải nghiệm sâu sắc và tuyệt vời về kiến thức và cuộc sống. Với Praim, bạn sẽ luôn được cập nhật với những xu hướng, tin tức và kiến thức mới nhất.